行列の積 - Unityと数学と音楽の学習帳

ベクトルは行列で表記すると縦になる。ベクトルや行列は一般的に太字で表される

${\vec { { A } }=\textbf{A} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}}$

４次元のベクトルAは４行１列の行列Aと言える
この行列に対し転置行列を行うと下記のような１行４列となる

${\textbf{A}^{ T }=\left( 1,2,3,4 \right)}$

変数名の右肩にあるTはTransposeのTを表している

ベクトルを行列として扱い計算した例

${\textbf{A}^{ T }=\left( 1,2,3,4 \right)}$

${\textbf{B} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}}$

${\textbf{A}^{ T }\textbf{B}=\left( 1,2,3,4 \right) \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5=40=\textbf{B}^{ T }\textbf{A}}$

${\textbf{BA}^{ T }=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\left( 1,2,3,4 \right) =\begin{pmatrix} 2\times 1 & 2\times 2 & 2\times 3 & 2\times 4 \\ 3\times 1 & 3\times 2 & 3\times 3 & 3\times 4 \\ 4\times 1 & 4\times 2 & 4\times 3 & 4\times 4 \\ 5\times 1 & 5\times 2 & 5\times 3 & 5\times 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \\ 4 & 8 & 12 & 16 \\ 5 & 10 & 15 & 20 \end{pmatrix}}$

＜行列の積の計算例＞

─□ = ─

□| = |

|─ = □

─| = ・

─□| = ・

─□□| = ・

─□□□| = ・

□|─□|─ = (□|)(─□|)─ = |・─ = ・|─ = □

行列の積は計算順を変えると結果が変わる点に注意。カッコでくくる場合でも計算順は変更できない。但し・は「数」であり行列の積計算に対して順番的に自由な位置に再配置できる点に留意

|□ = NG

|｜= NG

─ ─ = NG

行列の積を考える場合、左から順番に二項演算で計算していく。その際、各次数が重要になってくる。まず左項の列数と右項の行数の次数が合致しない場合、計算そのものが成立しない。以下、LaTexで書くのが大変なのでPocketCasによる出力で例を並べてみる

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