ゲームで使う数式の原理 - Unityと数学と音楽の学習帳

座標変換

矩形領域の指定座標を-1～0のユークリッド空間に変換

X軸に関して以下の式を利用する。xが矩形の横幅、x'が座標。Y軸やZ軸に関しても同様の式を利用すると良い
$\frac { x'-\frac { x }{ 2 } }{ \frac { x }{ 2 } } \quad =\quad \left( x'-\frac { x }{ 2 } \right) \times \frac { 1 }{ \frac { x }{ 2 } } \quad =\quad \left( x'-\frac { x }{ 2 } \right) \times 1\div \frac { x }{ 2 } \quad =\quad \left( x'-\frac { x }{ 2 } \right) \times \frac { 2 }{ x } \quad =\quad \frac { 2x' }{ x } -\frac { 2x }{ 2x } \quad =\quad \frac { 2x' }{ x } -1$

球面座標系Pとデカルト座標の変換

$P\left( r,\theta ,\phi \right) \quad \Leftrightarrow \quad \left( r\sin { \theta \cos { \phi } } ,\quad r\cos { \theta \quad ,\quad r\sin { \theta \sin { \phi } } } \right)$

「ゲームアプリの数学」P42の球面座標系とデカルト座標の変換式の考え方
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＜unityで利用する場合＞

球面座標からデカルト座標にする。半径 $r$ 、方位角 $\theta$ 、仰角 $\phi$ として
$P\left( r,\theta ,\phi \right) \quad \longmapsto \quad \left( r\cos { \phi } \sin { \theta } \quad ,\quad r\sin { \phi } \quad ,\quad r\cos { \phi } \cos { \theta } \right)$

デカルト座標から球面座標にする
$r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \\ \theta =\arctan { \frac { x }{ z } } \\ \phi =\arcsin { \frac { y }{ r } }$

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簡単な使用例：
$P\left( 1,-60,30 \right) \quad \longmapsto \quad \left( 1\times \cos { (30) } \times \sin { (-60) } \quad ,\quad 1\times \sin { (30) } \quad ,\quad 1\times \cos { (30) } \times \cos { (-60) } \right) \quad =\quad \left( -0.75\quad ,\quad 0.5\quad ,\quad 0.433... \right)$