Unityと数学の学習帳

Unityと数学の同時学習を目的としたブログ

逆行列の演算

以下の様な連立一次方程式のモデルがある

3x+6y=12+48=60\\ 5x+7y=20+56=76\\ x=4,y=8

これを行列表現すると以下になる

\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 4+6\times 8 \\ 5\times 4+7\times 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12+48 \\ 20+56 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 60 \\ 76 \end{pmatrix}

行列の強力さは逆関数を単純な行列演算の不可換な演算で作る事が可能という部分にある

\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5-1\times 5 & 7-2\times 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -\frac { 1 }{ 3 } \times 5 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -\frac { 5 }{ 3 }  & 1 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3\times -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -\frac { 5 }{ 3 } \times -\frac { 1 }{ 3 }  & 1\times -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2-2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 10 }{ 9 }  & 0--\frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 9 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}

作成した逆行列の検算

\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 9 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 60 \\ 76 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 9 } \times 60+\frac { 2 }{ 3 } \times 76 \\ \frac { 5 }{ 9 } \times 60+-\frac { 1 }{ 3 } \times 76 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac { 420 }{ 9 } +\frac { 152 }{ 3 }  \\ \frac { 300 }{ 9 } -\frac { 76 }{ 3 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac { -420+456 }{ 9 }  \\ \frac { 300-228 }{ 9 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac { 36 }{ 9 }  \\ \frac { 72 }{ 9 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}

この演算に利用した行列式
\mathbb{AI}=\mathbb{I{ A }^{ -1 }}

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