Unityと数学の学習帳

Unityと数学の同時学習を目的としたブログ

ネイピア数に関して

虚数の情緒P528~529の別解釈

ここではネイピア数の値を求めている。方法は幾つかあるが、よく似たやり方で接線の方程式を利用して求める方法を考えてみた

指数関数と、その導関数
f\left( x \right) ={ a }^{ x }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) ={ a }^{ x }\ln { a }

標準的な微分係数の式
f'\left( a \right) =\lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right)  }{ b-a }  }

実際に利用する関数と導関数
f\left( x \right) ={ 10 }^{ x }\quad \mapsto \quad f'\left( x \right) =10^{ x }\ln { 10 } \quad

0に限りなく近い極小の差としてb,aを考える

b=\frac { 1 }{ 32768 } ,a=\frac { 1 }{ 65536 } ,\quad f'\left( 0 \right)

これを接線の方程式として代入

10^{ 0 }\log _{ e }{ 10 } \simeq \frac { { 10 }^{ \frac { 1 }{ 32768 }  }-{ 10 }^{ \frac { 1 }{ 65536 }  } }{ \frac { 1 }{ 32768 } -\frac { 1 }{ 65536 }  } =2.3027...

これの未知数eを求めている。その値と関係は以下になる

 \log _{ e }{ 10 }  =2.3027 ・・・①

{ e }^{ 2.3027 }=10\quad \Leftrightarrow \quad { e }^{ \frac { 2.3027 }{ 2.3027 }  }={ 10 }^{ \frac { 1 }{ 2.3027 }  }\quad \Leftrightarrow \quad e={ 10 }^{ \frac { 1 }{ 2.3027 }  }\quad \Leftrightarrow \quad e=2.7182...
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P529の詳細を考える

P529の以下の式を考えてみる

10^{ \frac { n }{ 65536 }  }\simeq 10^{ 0 }+\frac { 2.3026 }{ 65536 } \cdot n

この2.3026\ln { 10 } の事を指している。従って式は

10^{ \frac { n }{ 65536 }  }\simeq 1+\ln { 10 } \frac { n }{ 65536 } と書き表せる

ここでt=\frac { n }{ 65536 } とすると

10^{ t }\simeq 1+\ln { 10 } \cdot t となる

これは先に結論から書いてしまうと一次近似式の形に近い
例えば  t=\frac { 1 }{ 128 }  周辺から小さくなればなるほど精度が向上していく(P528参照)。以上を踏まえて微分の式から一次近似式を導出する式を以下に書いてみる

\displaystyle \lim _{ b\rightarrow a }{ \frac { f\left( b \right) -f\left( a \right)  }{ b-a }  } =f'\left( a \right) \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f'\left( a \right) \left( b-a \right) =f\left( b \right) -f\left( a \right)  } \quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ b\rightarrow a }{ f\left( b \right) =f\left( a \right) +f'\left( a \right) \left( b-a \right)  }

aの値が0に近い時を考える

\quad a=0\quad \Rightarrow \quad f\left( b \right) =f\left( 0 \right) +f'\left( 0 \right) \left( b-0 \right) \quad \Leftrightarrow \quad f\left( b \right) =f\left( 0 \right) +f'\left( 0 \right) b

ここで f\left( x \right) ={ \alpha  }^{ x }\quad ,\quad f'\left( x \right) =\alpha ^{ x }\cdot \ln { \alpha  } \quad ,\quad a=0 とすると

\quad { \alpha  }^{ b }={ \alpha  }^{ 0 }+\alpha ^{ 0 }\cdot \ln { \alpha  } \cdot b\quad \Leftrightarrow \quad { \alpha  }^{ b }=1+1\cdot \ln { \alpha  } \cdot b\quad \Leftrightarrow { \alpha  }^{ b }=1+\ln { \alpha  } \cdot b となる

これらのことをまとめると以下の事が言える

<TODO>

P532~P534は以下の要約とも考えられる

\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { a }^{ \frac { 1 }{ x }  } } =1
\therefore { e }^{ x }\simeq 1+x\quad \left( x\ll  1 \right)

\left( x\ll 1 \right) 」はxが1よりもずっと小さい事を表現している
極小の指数計算では値の変化が一次関数に近似する。これはグラフの線がy=1に漸近する事により発生している({a}^{0}=1だから)
この現象を利用すれば例えば低金利の貯金計算なども短時間で行う事が出来る
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そのほか以下のような計算方法も行える

P536~P537

{ e }^{ \pm t }\simeq 1\pm t \quad \left( t\ll 1 \right) \\ t=xk\quad \Rightarrow \quad { e }^{ \pm xk }\simeq 1\pm xk\quad \Leftrightarrow \quad \left( 1\pm x \right) ^{ k }\simeq 1\pm xk

たとえば大きな値の平方根の近似計算に、この一次式の仕組みを利用すると…

{ \sqrt { 5031 }  }=\sqrt { 4900+131 } =\sqrt { 4900\times \left( 1+\frac { 131 }{ 4900 }  \right)  } =\overbrace { 70\sqrt { 1+\frac { 131 }{ 4900 }  }  }^{ この段階で大きな数字と小さな数字に別れている } \\ \Rightarrow \quad \left( 1\pm x \right) ^{ k }\simeq 1\pm xk\quad \Rightarrow \quad 70\times \left( 1+\frac { 131 }{ 4900 }  \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\simeq 70\times \left( 1+\frac { 131 }{ 4900 } \times \frac { 1 }{ 2 }  \right) \\ \therefore { \sqrt { 5031 }  }=70.9295\simeq 70\times \left( 1+\frac { 131 }{ 4900 } \times \frac { 1 }{ 2 }  \right) =70.9357

これは平方根の中身の値が大きくなるほど精度が向上していく(xの分母が大きくなっていく為)

それとは別に計算尺を利用した計算の際の加算減算でよく似た考えを利用することがある
参考資料:
計算尺での足し算・引き算

ネイピア数の定義

未知数eの指数関数を考える(資料書籍:ふたたびの微分積分P178 自然対数の底ネイピア数)の定義その1)

f\left( x \right) ={ e }^{ x }\\ f'\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h }  }

この指数関数をx=0の周りで微分すると

\displaystyle f'\left( 0 \right) =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ 0+h }-{ e }^{ 0 } }{ h }  } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ 0 }\cdot { e }^{ h }-{ e }^{ 0 } }{ h }  } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { 1\cdot { e }^{ h }-1 }{ h }  } \quad =\quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-1 }{ h }  }

ネイピア数として、この未知数eを扱うと考えるとx=0の時、その傾きは1として扱うので

\displaystyle f'\left( 0 \right) =1

従ってネイピア数の定義は

\displaystyle \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-1 }{ h }  } =1

となり、このeがネイピア数となる。この式を変形すると

\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { e }^{ h }-1 }{ h }  } =1\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { e }^{ h }-1 } =h\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { e }^{ h } } =1+h\quad \\ \therefore \lim _{ h\rightarrow 0 }{ { e }^{ h } } =1+h\quad \Leftrightarrow \quad { e }^{ x }\simeq 1+x\quad \left( x\ll 1 \right)

ここで「虚数の情緒」の記述と「ふたたびの微分積分」の記述は繋がる(表現が違うだけで意味は同じ)