Unityと数学の学習帳

Unityと数学の同時学習を目的としたブログ

虚数の情緒P471メモ

虚数の情緒P471メモ

虚数平方根を求める

{ x }^{ 2 }=i

xa+biの抽象化した複素数の式と考える
iは定数。abは変数である事を意識すると
iは実部が0なので

\overbrace { i }^{ 定数で実部が0である } ={ \left( a+bi \right)  }^{ 2 }=\underbrace { { a }^{ 2 }-b^{ 2 } }_{ 実部なので0 } +\underbrace { 2abi }_{ 2ab\times i } \quad \cdots ①

まとめると

\begin{cases} { a }^{ 2 }-b^{ 2 }=0\quad \cdots ② \\ 2ab=1\quad \cdots ③ \end{cases}

連立方程式となる。この根は②より

{ a }^{ 2 }-b^{ 2 }=0\quad \Rightarrow \quad { a }^{ 2 }=b^{ 2 }\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a=b \\ b=a \end{cases}

③に代入して

\begin{cases} 2{ a }^{ 2 }=1\quad \Rightarrow \quad { a }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \sqrt { \frac { 1 }{ 2 }  } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \frac { \sqrt { 1 }  }{ \sqrt { 2 }  } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \cdot \frac { \sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 2 }  } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  \\ 2b^{ 2 }=1\quad \Rightarrow \quad { b }=\pm \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  \end{cases}

この結果を正の数のみ考えて①に代入して

i={ \left( \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } +\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } i \right)  }^{ 2 }\quad \quad \Rightarrow \quad { i }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } \left( 1+i \right) \quad =\quad 0.7071...+0.7071...\cdot i

これを複素平面上に置いてsin,cos関数と合わせて考えると以下のような図になる

虚数平方根ガウス平面上でちょうど斜め45度のオイラー角の位置の点、ラジアンでは\frac { \pi  }{ 4 }になる
これに対しての絶対値を求める。これはP463の式を使う

Z=a+bi\\ { Z }^{ * }=a-bi\\ \left| Z \right| =\sqrt { Z{ \cdot Z }^{ * } } =\sqrt { { a }^{ 2 }+b^{ 2 } } \\

複素数Z、トレース{ Z }^{ * }、絶対値\left| Z \right| 、という意味になっている。これにあてはめると

\sqrt { i } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } +\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } i\\ { \sqrt { i }  }^{ * }=\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } i\\ \left| \sqrt { i }  \right| =\sqrt { \sqrt { i } { \sqrt { i }  }^{ * } } =\sqrt { \left( \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } +\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } i \right) \left( \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } i \right)  } =\sqrt { \frac { 2 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 4 }  } =\sqrt { 1 } =1\\

これによりベクトル長(Length)が1であることがわかる。つまりsin,cos関数の単位円上に乗っている

そもそも円と\piは何か?を考える