虚数の情緒P471メモ

${ x }^{ 2 }=i$

$x$ を $a+bi$ の抽象化した複素数の式と考える
$i$ は定数。 $a$ と $b$ は変数である事を意識すると
$i$ は実部が $0$ なので

$\overbrace { i }^{ 定数で実部が0である } ={ \left( a+bi \right) }^{ 2 }=\underbrace { { a }^{ 2 }-b^{ 2 } }_{ 実部なので0 } +\underbrace { 2abi }_{ 2ab\times i } \quad \cdots ①$

これは恒等式における係数比較の考え方を利用している。まとめると

$\begin{cases} { a }^{ 2 }-b^{ 2 }=0\quad \cdots ② \\ 2ab=1\quad \cdots ③ \end{cases}$

の連立方程式となる。この根は②より

${ a }^{ 2 }-b^{ 2 }=0\quad \Rightarrow \quad { a }^{ 2 }=b^{ 2 }\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a=b \\ b=a \end{cases}$

③に代入して

$\begin{cases} 2{ a }^{ 2 }=1\quad \Rightarrow \quad { a }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \sqrt { \frac { 1 }{ 2 } } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \frac { \sqrt { 1 } }{ \sqrt { 2 } } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \cdot \frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } } \quad \Rightarrow \quad { a }=\pm \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \\ 2b^{ 2 }=1\quad \Rightarrow \quad { b }=\pm \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \end{cases}$

この結果を正の数のみ考えて①に代入して

$i={ \left( \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } i \right) }^{ 2 }\quad \quad \Rightarrow \quad { i }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \left( 1+i \right) \quad =\quad 0.7071...+0.7071...\cdot i$

これを複素平面上に置いてsin,cos関数と合わせて考えると以下のような図になる

虚数の平方根はガウス平面上でちょうど斜め45度のオイラー角の位置の点、ラジアンでは $\frac { \pi }{ 4 }$ になる
これに対しての絶対値を求める。これはP463の式を使う

$Z=a+bi\\ { Z }^{ * }=a-bi\\ \left| Z \right| =\sqrt { Z{ \cdot Z }^{ * } } =\sqrt { { a }^{ 2 }+b^{ 2 } } \\$

複素数 $Z$ 、トレース ${ Z }^{ * }$ 、絶対値 $\left| Z \right|$ 、という意味になっている。これにあてはめると

$\sqrt { i } =\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } i\\ { \sqrt { i } }^{ * }=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } i\\ \left| \sqrt { i } \right| =\sqrt { \sqrt { i } { \sqrt { i } }^{ * } } =\sqrt { \left( \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } +\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } i \right) \left( \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } i \right) } =\sqrt { \frac { 2 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 4 } } =\sqrt { 1 } =1\\$