虚数の情緒P469メモ

${ x }^{ 5 }-1=0\\ \Rightarrow \quad \left( x-1 \right) \underbrace { \left( { x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+{ x }+1 \right) }_{ この根を解く }$

次数の関係性を保ったまま次数を落とす。xの解を求める事が目的なら大丈夫

${ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+{ x }+1\quad \Rightarrow \quad \frac { { x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }+{ x }+1 }{ { x }^{ 2 } } \quad =\quad { x }^{ 2 }+{ x }+1+\frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }$

$t=x+\frac { 1 }{ x } \quad \cdots ①\\ { t }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+2+\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \\ { t }^{ 2 }+t-1={ x }^{ 2 }+{ x }+1+\frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } }$

根の公式、 $\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }$ より、 $a=1,b=1,c=-1$ 　として

$t=\frac { -1\pm \sqrt { 1^{ 2 }-4\cdot 1\cdot -1 } }{ 2\cdot 1 } =\frac { -1\pm \sqrt { 5 } }{ 2 }$

①に代入してこのxを求める

$\frac { -1\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } =x+\frac { 1 }{ x }$

両辺をx倍

$\frac { -1\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } x={ x }^{ 2 }+1\quad \Rightarrow \quad { x }^{ 2 }-\frac { -1\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } x+1=0$

根の公式より、 $a=1,b=-\frac { 1 }{ 2 } \left( -1\pm \sqrt { 5 } \right) ,c=1$ 　として複号も計算すると

${ b }_{ 1 }=-\frac { 1 }{ 2 } \left( -1+\sqrt { 5 } \right) \quad ,\quad { b }_{ 1 }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } \left( 6-2\sqrt { 5 } \right) \\ { x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }=\frac { -\left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( -1+\sqrt { 5 } \right) \right\} \pm \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } \left( 6-2\sqrt { 5 } \right) -\frac { 16 }{ 4 } } }{ 2 } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( -1+\sqrt { 5 } \right) \pm \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } } \sqrt { \left( 6-2\sqrt { 5 } \right) -16 } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } \left( -1+\sqrt { 5 } \pm \sqrt { -10-2\sqrt { 5 } } \right) =\frac { 1 }{ 4 } \left( \sqrt { 5 } -1\pm i\sqrt { 10+2\sqrt { 5 } } \right) =0.309016994...\pm 0.951056516...i$

${ b }_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 } \left( -1-\sqrt { 5 } \right) \quad ,\quad { b }_{ 2 }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } \left( 6+2\sqrt { 5 } \right) \\ { x }_{ 3 },{ x }_{ 4 }=\frac { -\left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( -1-\sqrt { 5 } \right) \right\} \pm \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } \left( 6+2\sqrt { 5 } \right) -\frac { 16 }{ 4 } } }{ 2 } =\frac { \frac { 1 }{ 2 } \left( -1-\sqrt { 5 } \right) \pm \sqrt { \frac { 1 }{ 4 } } \sqrt { \left( 6+2\sqrt { 5 } \right) -16 } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 4 } \left( -1-\sqrt { 5 } \pm \sqrt { -10+2\sqrt { 5 } } \right) =\frac { 1 }{ 4 } \left( -\sqrt { 5 } -1\pm i\sqrt { 10-2\sqrt { 5 } } \right) =0.809016994...\pm 0.587785252...i$