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Unityと数学の学習帳

Unityと数学の同時学習を目的としたブログ

逆行列の演算

以下の様な連立一次方程式のモデルがある

3x+6y=12+48=60\\ 5x+7y=20+56=76\\ x=4,y=8

これを行列表現すると以下になる

\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\times 4+6\times 8 \\ 5\times 4+7\times 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12+48 \\ 20+56 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 60 \\ 76 \end{pmatrix}

行列の強力さは逆関数を単純な行列演算の不可換な演算で作る事が可能という部分にある

\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5-1\times 5 & 7-2\times 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -\frac { 1 }{ 3 } \times 5 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -\frac { 5 }{ 3 }  & 1 \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3\times -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ -\frac { 5 }{ 3 } \times -\frac { 1 }{ 3 }  & 1\times -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 }  & 0 \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2-2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 } -\frac { 10 }{ 9 }  & 0--\frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}\\ =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 9 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}

作成した逆行列の検算

\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 9 }  & \frac { 2 }{ 3 }  \\ \frac { 5 }{ 9 }  & -\frac { 1 }{ 3 }  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 60 \\ 76 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac { 7 }{ 9 } \times 60+\frac { 2 }{ 3 } \times 76 \\ \frac { 5 }{ 9 } \times 60+-\frac { 1 }{ 3 } \times 76 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac { 420 }{ 9 } +\frac { 152 }{ 3 }  \\ \frac { 300 }{ 9 } -\frac { 76 }{ 3 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac { -420+456 }{ 9 }  \\ \frac { 300-228 }{ 9 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac { 36 }{ 9 }  \\ \frac { 72 }{ 9 }  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}

この演算に利用した行列式
\mathbb{AI}=\mathbb{I{ A }^{ -1 }}

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数について

どんな数も合成数である
数には人間に理解の及ぶ範疇と及ばない範疇があり、それは例えば前者の場合、自然数有理数、後者の場合、無理数虚数等となってイメージされる
それらを大雑把にふたつにわけ、「良い数」「悪い数」と考えることもできる

良い数をu、悪い数をvと考え、数そのものを「u+v」という合成数で考えることもできる
たとえば以下のような式がある

x=1+\frac { 1 }{ x }

両辺にxがあるので解(根)は求まっていない。とりあえず両辺にxがある状態を無くす必要がある。なので、これを変形していく。すると解は黄金数になる。変形にはややアクロバティックな正方完成の考えが利用される

\Leftrightarrow \quad x\cdot x=1\cdot x+\frac { 1 }{ x } \cdot x\quad \Leftrightarrow \quad { x }^{ 2 }=x+1\\ \Leftrightarrow \quad { \left( x-\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+x-\frac { 1 }{ 4 } =x+1\quad \Leftrightarrow \quad { \left( x-\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=x+1-x+\frac { 1 }{ 4 } \quad \Leftrightarrow \quad { \left( x-\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }=\frac { 5 }{ 4 } \\ \Leftrightarrow \quad x-\frac { 1 }{ 2 } =\pm \sqrt { \frac { 5 }{ 4 }  } \quad \Leftrightarrow \quad x-\frac { 1 }{ 2 } =\frac { \pm \sqrt { 5 }  }{ 2 } \quad \Leftrightarrow \quad x=\frac { 1\pm \sqrt { 5 }  }{ 2 }

この場合、1がよい数で\sqrt { 5 } が悪い数になる。こういう合成数の図式はあらゆる場面で見られる。たとえば複素数もそうであるし、サインコサインの出力値、漸化式の解や別の形に表現された無理数もよく見ると、この形になっていたりする(0は良い数、悪い数、両方の性質を持つと考える)
そういったセンスを持っておくと色々得をしそう?(テイラー展開でとか??)

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循環小数の作成

0.3939393939...\quad =\quad 0.\dot { 3 } \dot { 9 }  のような循環小数の作成

基本的に以下の様な仕組みを利用する。これはゲーム開発では乱数の作成の基礎などに利用できる

\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n } } \quad =\quad 39\left\{ \frac { 1 }{ 100 } +{ \left( \frac { 1 }{ 100 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 100 }  \right)  }^{ 3 }+\cdots +{ \left( \frac { 1 }{ 100 }  \right)  }^{ n } \right\}

等比数列の和の公式 { S }_{ n }=\frac { { a }_{ 1 }\left( 1-{ r }^{ n } \right)  }{ 1-r } を利用して

\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { S }_{ n } } =39\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-{ \left( \frac { 1 }{ 100 }  \right)  }^{ n } \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 100 }  } \\ { S }_{ n }=\quad 39\times \frac { \frac { 1 }{ 100 } \left( 1-0 \right)  }{ 1-\frac { 1 }{ 100 }  } \quad =\quad 39\times \frac { \frac { 1 }{ 100 }  }{ \frac { 99 }{ 100 }  } \quad =\quad 39\times \frac { 1 }{ 99 } \quad =\quad \frac { 13 }{ 33 }

となる。簡単に言うと39÷99で循環小数を作れるし、例えば0.1234512345...のような場合は、12345÷99999で作れる。乱数にしたいなら、この99の部分を98や97にずらしていく。(もちろんこんなものは乱数ではないのだが、ぱっとみて乱数と勘違させることは出来る)この循環少数の狙った桁や並んだ数字部分を抽出したいのなら以下のような考え方を利用する(10なら一桁づつだが100にすればふたつずつ抽出するなども出来る)


狙った桁の抽出

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線形計画問題、忘備録

資料:
線形計画問題
f:id:cqbosinko:20170501195822p:plain

このようなグラフを書くことによって、どんな情報が得られるかに注目した方が良い。このグラフから、この問題をうまく解決すれば最低でも6000円以上、10000円以下の利益が得られることが分かる。また、理屈で考えるとx=800,y=8が最適解となる事が考えられる(図を書かなければそんなことはイメージ出来ない)

また図を描く事とは別として行列の計算、アルゴリズムを利用して線形代数的に最適解を算出することが可能となる

unityチュートリアル 「2D UFO」のメモ

  • テクスチャ画像をシーンにドラッグすると勝手にスプライトレンダーコンポーネントが付加される
  • ソーティングレイヤーは描画順
  • コライダーコンポーネントはひとつのゲームオブジェクトに複数作り組み合わせることができる
  • プレハブは青く表示される。ヒエラルキーからプロジェクトにドラッグすると自動的に作れる
  • ctrl+cとctrl+vでもコピーできるが、ctrl+dでも出来る
  • コライダーの設定で「Is Trigger」をオンにすると物理的な跳ね返りがなくなる(通り抜けてトリガーが発行される)
  • RigedBody2DのBodyTypeを「Kinematic」にするとunity内の物理作用はゼロになり、トランスフォームのみで動くようになる

 これにより処理が軽くなる

  • 以前のバージョンと違ってunityのUIは名前空間 unityengine.UIで拡張されている

 仕様がまるで変っている。textひとつとっても扱い方が変わっているので再学習の必要アリ


UI関連

  • 今までと違いCanvas内のオブジェクトに対してはショートカットtで色々なトランスフォームとは別の操作が可能となる

(posやwidth、heightなど)

  • RectTransformを持つオブジェクトの場合ヒエラルキーウインドウ内で選択した状態で右クリック->CreateEmptyすると

 空のUIの子が簡単に作れる

  • レンダーテクスチャはCreate -> RenderTexture で作成できる。これをカメラに設定すると良い
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<カメラ操作tips>
カメラオブジェクトを選択した状態で ctrl+Shift+f で カメラをビューの視点に出来る
ビューはビュー内のどこかをクリックして選択状態にするとカーソルキーが使えるようになる

ゲーム性を向上させる確率の考え方

指数と確率の考え方

>20%の5連撃を1発でも当てれば…なんて時にサクーッと概算できるようになっても
>2の10乗が1000って覚えとくと便利よね

{ 2 }^{ 10 }\quad =\quad 1,024\quad \simeq \quad { 10 }^{ 3 }\\ { 2 }^{ 20 }\quad =\quad 1,048,576\quad \simeq \quad { 10 }^{ 6 }\\ { 2 }^{ 30 }\quad =\quad 1,073,741,824\quad \simeq \quad { 10 }^{ 9 }


>全部外れる確率は
>0.8の5乗 → 2の15乗の上一桁の数字だけほしい → 3
>だから7割くらいは1発当たるはず

0.8^{ 5 }\quad =\quad (0.1\times 8)^{ 5 }\quad =\quad 0.1^{ 5 }\times (2^{ 3 })^{ 5 }\quad =\quad 0.1^{ 5 }\times 2^{ 15 }\quad =\quad 0.32768

この7割ってのは必ず5回連続攻撃して、その内7割の確率でヒットするという考え方
つまり20%、40%、80%、と言う確率は計算しやすい。又、5回攻撃前提でワンパック(大数の法則)になっている点も強く意識しておく事が大事
ワンボタンで一度に5回攻撃が出るRPGの戦闘みたいな場面を想像すると良い

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<メモ>
桁と小数点位置の感覚がつかめていないと痛い目にあうので注意

指数関数はネイピア数を利用した指数関数と同相になる。対数関数とは逆関数の関係となる
(このグラフで考えると横軸に対する拡大縮小率で何回試行すれば充分かという考え方ができる筈。つまりネイピア数に対する係数がある筈)

第一回年末ジャンボと第二回年末ジャンボは写像が変わるので同相でなく不連続となる?
この場合、第一回と第二回を一緒にした写像を作れば連続となるが解は変わるか?

一桁のパーセンテージというのは、ほぼ大数の法則に支配されると考える。場の親であるなら
結果を安定させるために試行の単価(ランニングコスト)を安くして試行回数を増やす必要があると予想できる

「同相」という考え方は重要で強力
https://kotobank.jp/word/%E5%90%8C%E7%9B%B8-1189069
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/dousousya.html

ゲームで使う数式の原理

座標変換

X軸に関して以下の式を利用する。xが矩形の横幅、x'が座標。Y軸やZ軸に関しても同様の式を利用すると良い
\frac { x'-\frac { x }{ 2 }  }{ \frac { x }{ 2 }  } \quad =\quad \left( x'-\frac { x }{ 2 }  \right) \times \frac { 1 }{ \frac { x }{ 2 }  } \quad =\quad \left( x'-\frac { x }{ 2 }  \right) \times 1\div \frac { x }{ 2 } \quad =\quad \left( x'-\frac { x }{ 2 }  \right) \times \frac { 2 }{ x } \quad =\quad \frac { 2x' }{ x } -\frac { 2x }{ 2x } \quad =\quad \frac { 2x' }{ x } -1



P\left( r,\theta ,\phi  \right) \quad \Leftrightarrow \quad \left( r\sin { \theta \cos { \phi  }  } ,\quad r\cos { \theta \quad ,\quad r\sin { \theta \sin { \phi  }  }  }  \right)

「ゲームアプリの数学」P42の球面座標系とデカルト座標の変換式の考え方
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<unityで利用する場合>

球面座標からデカルト座標にする。半径r、方位角\theta、仰角\phiとして
P\left( r,\theta ,\phi  \right) \quad \longmapsto \quad \left( r\cos { \phi  } \sin { \theta  } \quad ,\quad r\sin { \phi  } \quad ,\quad r\cos { \phi  } \cos { \theta  }  \right)

デカルト座標から球面座標にする
r=\sqrt { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \\ \theta =\arctan { \frac { x }{ z }  } \\ \phi =\arcsin { \frac { y }{ r }  }

f:id:cqbosinko:20170414010533p:plain

簡単な使用例:
P\left( 1,-60,30 \right) \quad \longmapsto \quad \left( 1\times \cos { (30) } \times \sin { (-60) } \quad ,\quad 1\times \sin { (30) } \quad ,\quad 1\times \cos { (30) } \times \cos { (-60) }  \right) \quad =\quad \left( -0.75\quad ,\quad 0.5\quad ,\quad 0.433... \right)