DEXED調査メモ - Unityと数学と音楽の学習帳

個人的メモ

DX7のオペレーターのレベル値とレート値の詳細を調べ確認した。VSTiであるDEXEDでも同様の効果が見られた。
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デシベルに関して

音楽で扱われる単位：デシベルは音の強さ、音圧の「レベル」を対数で表したものと言える
$dB(in,out):=20\log _{ 10 }{ \left( \frac { out }{ in } \right) }$

基準1からの10000倍の音圧をレベル表現した場合
$dB(1,10000):=20\log _{ 10 }{ \left( \frac { 10000 }{ 1 } \right) } =80.0$
となる。つまり80dBは物理的に基準からの10000倍の音圧である事がわかる

従ってdBと物理量の関係をグラフで見ると
f:id:cqbosinko:20201113233455j:plain:w600
このような指数曲線のグラフになり人間は、この曲がったグラフを「感覚的に直線的な変化として感じて」いる

95dBなら
${ 10 }^{ \frac { 95 }{ 20 } }={ 10 }^{ 4.75 }=56234.132...倍$
となる。DAW等で音声をモニタリングすると20dB～95dBぐらいまでヘッドフォンなどで音楽を視聴していると聴き取ることが出来る
つまり10倍～56000倍の物理的音圧の変化を感じ取れる器官を人類は持っていると考えられる

FM音源で生成される倍音の周波数に関して

キャリア、モジュレーターの音量レベルに応じて倍音は増えていくがDEXEDの場合、キャリアLevel=80、モジュレーターLevel=66で基音の左右に3本程、計７本の倍音が生成される
この倍音はキャリアとモジュレータのレシオの設定、DEXEDの場合「coarse」、VOPMの場合「MUL」によって等差数列の関係で生成される
一般的な等差数列の式は ${ a }_{ n+1 }={ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d$ で表されるがFM音源の場合、右側を ${ a }_{ n }$ 、左側を ${ b }_{ n }$ とした場合

${ a }_{ n+1 }={ a }_{ 1 }+\left( n-1 \right) d\\ { b }_{ n+1 }=\left| { a }_{ 1 }-\left( n-1 \right) d \right|$

で表せる。 ${ b }_{ n }$ の方は絶対値でキャリアの値が低い場合、0倍以下から折り返される倍音を表す（キャリアの値が高い場合、折り返されず左右に広がる）
キャリアのレートが１、モジュレーターのレートが３の場合、 ${ a }_{ 1 }=1$ 、 $d=3$ として
${ a }_{ n }=\left[ 1,4,7,10 \right] \\ b_{ n }=\left[ 2,5,8 \right]$
という数列が出来上がる。まとめると「×１、×２、×４、×５、×７、×８、×１０」の位置に整数倍音が出来る
以下のスクリーンショットはA3=440Hzを基音とした上記に該当する音色を鳴らした様子で、それぞれの倍音がこの数列通りに出力されている様子が確認できる

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これらの倍音は周波数により音程を持ち基音に対して相対的な関係を持つ。以下wikipediaの倍音の記事（倍音 - Wikipedia）より引用
赤い印が平均律の半音を表している。例えば青丸1をC3にした場合、青丸5はIII周辺なのでE5になり、青丸10はE6になると考える