P190 Bスプライン - Unityと数学と音楽の学習帳

資料：ゲームアプリの数学P190参照
Bスプライン基底関数は以下になる

$\displaystyle B\left( t \right) =\sum _{ i=0 }^{ n }{ { N }_{ i,k }\left( t \right) { P }_{ i } }$

$\displaystyle { N }_{ i,1 }\left( t \right)=\begin{cases} 1\left( { x }_{ i }\le t＜{ x }_{ i+1 } \right) \\ 0\left( t＜{ x }_{ i },{ x }_{ i+1 } ＜t\right) \end{cases}　　\cdots ①$

①は条件式。②はブレンド機能を持つ再帰関数でド・ブーアのアルゴリズムと呼ばれるもの。

②の関数は扱うBスプラインの次数だけ総和計算され階数により再帰的に呼び出される
したがって３次のBスプラインの場合

${ p }_{ 0 }～{ p }_{ 3 }$ 制御点4で $n=3$
階数 $k=3+1=4$

$\displaystyle B\left( t \right) =\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ { N }_{ i,4 }\left( t \right) { P }_{ i } } ={ N }_{ 0,4 }\left( t \right) { P }_{ 0 }+{ N }_{ 1,4 }\left( t \right) { P }_{ 1 }+{ N }_{ 2,4 }\left( t \right) { P }_{ 2 }+{ N }_{ 3,4 }\left( t \right) { P }_{ 3 }$

となる。②を階数４を想定して再帰関数を展開すると

$\displaystyle{ N }_{ i,k }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+k-1 }-{ x }_{ i } } { N }_{ i,k-1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+k }-t }{ { x }_{ i+k }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,k-1 }\left( t \right) \\ \displaystyle=\frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+k-1 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+k-2 }-{ x }_{ i } } { N }_{ i,k-2 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+k-1 }-t }{ { x }_{ i+k-1 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,k-2 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+k }-t }{ { x }_{ i+k }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+k-2 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,k-2 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+1+k-1 }-t }{ { x }_{ i+1+k-1 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,k-2 }\left( t \right) \right) \\ \displaystyle=\frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+k-1 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+k-2 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+k-3 }-{ x }_{ i } } { N }_{ i,k-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+k-2 }-t }{ { x }_{ i+k-2 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,k-3 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+k-1 }-t }{ { x }_{ i+k-1 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+k-3 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,k-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+1+k-2 }-t }{ { x }_{ i+1+k-2 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,k-3 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ i+k }-t }{ { x }_{ i+k }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+k-2 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+k-3 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,k-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+1+k-2 }-t }{ { x }_{ i+1+k-2 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,k-3 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+1+k-1 }-t }{ { x }_{ i+1+k-1 }-{ x }_{ i+2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+2 } }{ { x }_{ i+2+k-3 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,k-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+2+k-2 }-t }{ { x }_{ i+2+k-2 }-{ x }_{ i+3 } } { N }_{ i+3,k-3 }\left( t \right) \right) \right)$

k=4にする

$\displaystyle { N }_{ i,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+4-1 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+4-2 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+4-3 }-{ x }_{ i } } { N }_{ i,4-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+4-2 }-t }{ { x }_{ i+4-2 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,4-3 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+4-1 }-t }{ { x }_{ i+4-1 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+4-3 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,4-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+1+4-2 }-t }{ { x }_{ i+1+4-2 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,4-3 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ i+4 }-t }{ { x }_{ i+4 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+4-2 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+1+4-3 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,4-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+1+4-2 }-t }{ { x }_{ i+1+4-2 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,4-3 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+1+4-1 }-t }{ { x }_{ i+1+4-1 }-{ x }_{ i+2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+2 } }{ { x }_{ i+2+4-3 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,4-3 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+2+4-2 }-t }{ { x }_{ i+2+4-2 }-{ x }_{ i+3 } } { N }_{ i+3,4-3 }\left( t \right) \right) \right)$

まとめると

$\displaystyle { N }_{ i,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+3 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+2 }-{ x }_{ i } } \left( \frac { t-{ x }_{ i } }{ { x }_{ i+1 }-{ x }_{ i } } { N }_{ i,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+2 }-t }{ { x }_{ i+2 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+3 }-t }{ { x }_{ i+3 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+2 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+3 }-t }{ { x }_{ i+3 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,1 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ i+4 }-t }{ { x }_{ i+4 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+3 }-{ x }_{ i+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+1 } }{ { x }_{ i+2 }-{ x }_{ i+1 } } { N }_{ i+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+3 }-t }{ { x }_{ i+3 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ i+4 }-t }{ { x }_{ i+4 }-{ x }_{ i+2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ i+2 } }{ { x }_{ i+3 }-{ x }_{ i+2 } } { N }_{ i+2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ i+4 }-t }{ { x }_{ i+4 }-{ x }_{ i+3 } } { N }_{ i+3,1 }\left( t \right) \right) \right)$

ここから総和の各項を求めると
$i=0$ の時

$\displaystyle { N }_{ 0,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 0+3 }-{ x }_{ 0 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 0+2 }-{ x }_{ 0 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 0+1 }-{ x }_{ 0 } } { N }_{ 0,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 0+2 }-t }{ { x }_{ 0+2 }-{ x }_{ 0+1 } } { N }_{ 0+1,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 0+3 }-t }{ { x }_{ 0+3 }-{ x }_{ 0+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0+1 } }{ { x }_{ 0+2 }-{ x }_{ 0+1 } } { N }_{ 0+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 0+3 }-t }{ { x }_{ 0+3 }-{ x }_{ 0+2 } } { N }_{ 0+2,1 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ 0+4 }-t }{ { x }_{ 0+4 }-{ x }_{ 0+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0+1 } }{ { x }_{ 0+3 }-{ x }_{ 0+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0+1 } }{ { x }_{ 0+2 }-{ x }_{ 0+1 } } { N }_{ 0+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 0+3 }-t }{ { x }_{ 0+3 }-{ x }_{ 0+2 } } { N }_{ 0+2,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 0+4 }-t }{ { x }_{ 0+4 }-{ x }_{ 0+2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0+2 } }{ { x }_{ 0+3 }-{ x }_{ 0+2 } } { N }_{ 0+2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 0+4 }-t }{ { x }_{ 0+4 }-{ x }_{ 0+3 } } { N }_{ 0+3,1 }\left( t \right) \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } } { N }_{ 0,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 2 }-t }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } { N }_{ 1,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } { N }_{ 1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } { N }_{ 1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) \right) \right)$

$n+k+1=8$ の節点 $\quad x_{ 0 }～{ p }_{ 7 }=\left\{ -3,-2,-1,0,1,2,3,4 \right\}$
$x_{ 0 }～{ p }_{ 7 }=\left\{ 0,0,0,1/3,2/3,1,1,1 \right\}$ でも、おそらく大丈夫
パラメータを $t\in \left[ 0,1 \right]$ とすると①より

$\displaystyle { N }_{ 0,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( { x }_{ 0 }\le t＜{ x }_{ 0+1 } \right) \\ 0\left( t＜{ x }_{ 0 },{ x }_{ 0+1 }＜t \right) \end{cases}\quad \quad =\begin{cases} 1\left( -3\le t＜-2 \right) \\ 0\left( t＜-3,-2＜t \right) \end{cases}\quad \quad =0$

$\displaystyle { N }_{ 1,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( -2\le t＜-1 \right) \\ 0\left( t＜-2,-1＜t \right) \end{cases}\quad \quad =0$

$\displaystyle { N }_{ 2,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( -1\le t＜0 \right) \\ 0\left( t＜-1,0＜t \right) \end{cases}\quad \quad =0$

$\displaystyle { N }_{ 3,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( 0\le t＜1 \right) \\ 0\left( t＜0,1＜t \right) \end{cases}\quad \quad =1$

これらを ${ N }_{ 0,4 }\left( t \right)$ に代入すると

$\displaystyle { N }_{ 0,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 0 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 0 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 1 }-{ x }_{ 0 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 2 }-t }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \cdot 0 \right) +\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } \cdot 0 \right) \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } \cdot 0 \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \cdot 1 \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \cdot \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \cdot \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } }$

P192の一つ目の式と同じになっていることが確認できる。以下同様に計算していく
$i=1$ の時

$\displaystyle { N }_{ 1,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 1+3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 1+2 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 1+1 }-{ x }_{ 1 } } { N }_{ 1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 1+2 }-t }{ { x }_{ 1+2 }-{ x }_{ 1+1 } } { N }_{ 1+1,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 1+3 }-t }{ { x }_{ 1+3 }-{ x }_{ 1+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1+1 } }{ { x }_{ 1+2 }-{ x }_{ 1+1 } } { N }_{ 1+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 1+3 }-t }{ { x }_{ 1+3 }-{ x }_{ 1+2 } } { N }_{ 1+2,1 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ 1+4 }-t }{ { x }_{ 1+4 }-{ x }_{ 1+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1+1 } }{ { x }_{ 1+3 }-{ x }_{ 1+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1+1 } }{ { x }_{ 1+2 }-{ x }_{ 1+1 } } { N }_{ 1+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 1+3 }-t }{ { x }_{ 1+3 }-{ x }_{ 1+2 } } { N }_{ 1+2,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 1+4 }-t }{ { x }_{ 1+4 }-{ x }_{ 1+2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1+2 } }{ { x }_{ 1+3 }-{ x }_{ 1+2 } } { N }_{ 1+2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 1+4 }-t }{ { x }_{ 1+4 }-{ x }_{ 1+3 } } { N }_{ 1+3,1 }\left( t \right) \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } { N }_{ 1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) \right) \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) \right) \right)$

$\displaystyle { N }_{ 4,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( 1\le t＜2 \right) \\ 0\left( t＜1,2＜t \right) \end{cases}\quad \quad =0$

$=\displaystyle \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } 0+\frac { { x }_{ 3 }-t }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } 0 \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } 0+\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } 1 \right) \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } 0+\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } 1 \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } 1+\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } 0 \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { t-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 1 } } \left( \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) \right)$

$i=2$ の時

$\displaystyle { N }_{ 2,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 2+3 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 2+2 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 2+1 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 2+2 }-t }{ { x }_{ 2+2 }-{ x }_{ 2+1 } } { N }_{ 2+1,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 2+3 }-t }{ { x }_{ 2+3 }-{ x }_{ 2+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2+1 } }{ { x }_{ 2+2 }-{ x }_{ 2+1 } } { N }_{ 2+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 2+3 }-t }{ { x }_{ 2+3 }-{ x }_{ 2+2 } } { N }_{ 2+2,1 }\left( t \right) \right) \right) \cdots \\ \displaystyle \cdots +\frac { { x }_{ 2+4 }-t }{ { x }_{ 2+4 }-{ x }_{ 2+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2+1 } }{ { x }_{ 2+3 }-{ x }_{ 2+1 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2+1 } }{ { x }_{ 2+2 }-{ x }_{ 2+1 } } { N }_{ 2+1,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 2+3 }-t }{ { x }_{ 2+3 }-{ x }_{ 2+2 } } { N }_{ 2+2,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 2+4 }-t }{ { x }_{ 2+4 }-{ x }_{ 2+2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2+2 } }{ { x }_{ 2+3 }-{ x }_{ 2+2 } } { N }_{ 2+2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 2+4 }-t }{ { x }_{ 2+4 }-{ x }_{ 2+3 } } { N }_{ 2+3,1 }\left( t \right) \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } { N }_{ 2,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) \right) \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } { N }_{ 5,1 }\left( t \right) \right) \right)$

$i=3$ の時、パターンに沿ってやると

$\displaystyle { N }_{ 3,4 }\left( t \right) =\\ \displaystyle \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } { N }_{ 3,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } { N }_{ 5,1 }\left( t \right) \right) \right) +\frac { { x }_{ 7 }-t }{ { x }_{ 7 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } { N }_{ 4,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } { N }_{ 5,1 }\left( t \right) \right) +\frac { { x }_{ 7 }-t }{ { x }_{ 7 }-{ x }_{ 5 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 5 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } { N }_{ 5,1 }\left( t \right) +\frac { { x }_{ 7 }-t }{ { x }_{ 7 }-{ x }_{ 6 } } { N }_{ 6,1 }\left( t \right) \right) \right)$

$\displaystyle { N }_{ 5,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( 2\le t＜3 \right) \\ 0\left( t＜2,3＜t \right) \end{cases}\quad \quad =0$

$\displaystyle { N }_{ 6,1 }\left( t \right) =\begin{cases} 1\left( 3\le t＜4 \right) \\ 0\left( t＜3,4＜t \right) \end{cases}\quad \quad =0$

従って

$\displaystyle { N }_{ 2,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 3 }-{ x }_{ 2 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \cdot 1 \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \cdot 1+\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } \cdot 0 \right) \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \cdot 1+\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } \cdot 0 \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } \cdot 0 \right) \right) \\ =\displaystyle \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 2 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 2 } } \left( \frac { { x }_{ 4 }-t }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) +\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) \right)$

$\displaystyle { N }_{ 3,4 }\left( t \right) =\frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \cdot 1+\frac { { x }_{ 5 }-t }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } \cdot 0 \right) +\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } \cdot 0 \right) \right) +\frac { { x }_{ 7 }-t }{ { x }_{ 7 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 4 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 4 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 4 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 6 }-t }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } \cdot 0 \right) +\frac { { x }_{ 7 }-t }{ { x }_{ 7 }-{ x }_{ 5 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 5 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 5 } } \cdot 0+\frac { { x }_{ 7 }-t }{ { x }_{ 7 }-{ x }_{ 6 } } \cdot 0 \right) \right) \\ \displaystyle =\frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 6 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 5 }-{ x }_{ 3 } } \left( \frac { t-{ x }_{ 3 } }{ { x }_{ 4 }-{ x }_{ 3 } } \right) \right)$

P192～P193の各式と同じになっている事を確認できる