Unityと数学と音楽の学習帳

Unityと数学、音楽の同時学習を目的としたブログ（個人的メモ帳：勉強中なので正確性はない）

オイラーが虚数と円周率、指数関数を繋げた動機を探る（メモ）

対数計算のTips

「対数式の真数と底を入れ替える方法」として単純に逆数を取る方法がある
例えば、\log _{ a }{ b } を\log _{ b }{ a } にしたいときは　\frac { 1 }{ \log _{ a }{ b } } =\log _{ b }{ a } 　とする

なぜこうなるか？\frac { 1 }{ \log _{ a }{ b } } =C　として

\frac { 1 }{ \log _{ a }{ b } } =C\quad \Leftrightarrow \quad 1=C\log _{ a }{ b } \quad \Leftrightarrow \quad 1=\log _{ a }{ { b }^{ C } } \quad \Leftrightarrow \quad { a }^{ 1 }={ b }^{ C }\quad \Leftrightarrow \quad \log _{ b }{ a } =C

これをまとめると冒頭の式になる

オイラーの公式が導かれた際の始点、その動機を探る

証明に動機はない。人は動機を持って数式の因果関係を探る
証明が何処か無味無乾燥に感じる時というのは機能の因果関係を表すだけで人の動機が消失しているからと感じる事がある
「人が何故それをやろうと思ったのか」その動機が分かれば、より深くその物事を理解したことになるのではないか？と考える

{ 2 }^{ 0.000001 }=1.000000693

\frac { { 2 }^{ 0.000001 }-{ 2 }^{ 0 } }{ 0.000001-0 } =0.69314742...

1\div \log _{ 10 }{ 0.69314742... } \simeq -2\pi

右辺にマイナスとパイがある。オイラーはおそらくこれを手掛かりにして虚数と指数関数を円周率とつなげようと考えたのではないか？（仮説）