Unityと数学の学習帳

Unityと数学の同時学習を目的としたブログ

対数定規を作る

書籍:虚数の情緒P553「手動計算機をつくろう」を参考に計算尺を自作してみます

作成にはグーグルスプレッドとイラストレーターを利用
底を10に設定した対数関数の値を利用して横幅10センチメートルの定規を作り計算結果を確認します

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具体的な作成手順

1.グーグルスプレッドを開き「=LOG10(A2)*10」のような関数を利用して以下の様な底10の対数表を作成します。横幅10センチメートルの定規を作る為×10しています
docs.google.com

2.イラストレーターの長方形ツールを利用して中身透明色、線黒色の長方形を重ねて描いて行きます。この時、ポイント吸着機能を利用して長方形左上から数値入力形式でツールを利用して横幅にスプレッドシートの値をコピペして作成します(縦長の値はあらかじめ決めて置いてその値は固定値として触らないようにします)。作業的に100個の長方形を描くので少し根気が必要な作業となります。もし長方形の位置がずれても気にせず作業を続けてください。最後にオブジェクトの整列ツールを利用して「水平方向左に整列」、「垂直方向上に整列」を利用するとピッタリと収まります

3.イラストレーターで必要な位置値や定規として利用しやすい判り易い記号を配置します

出来上がったら定規を利用して計算結果を確認してみる

例えば「5.5\times 6=33」、「5.5\times 8=44」の計算を検証してみます。この場合、一行に定規を二つ並べて「10の二桁の計算」に対応させます。次にもう一つ定規をクローンさせてその上に配置し1の位置を下の定規の5.5に合わせスライドさせます
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上の定規の「6」位置の延長線上を下の定規でみると「3.3」この定規は二桁目を表しているので×10して答えは「33」になります

計算式で表すと
\log _{ 10 }{ 5.5 } +\log _{ 10 }{ 6 } \quad \Leftrightarrow \quad 0.74036...+0.77815...=1.51851...
この対数式は底を10とした指数ですから指数法則の考えを利用すると
{ 10 }^{ 0.74036 }\times { 10 }^{ 0.77815 }\quad \Leftrightarrow \quad { 10 }^{ 0.74036+0.77815 }\quad \Leftrightarrow \quad { 10 }^{ 1.51851 }\quad =\quad 32.9997...\quad \simeq \quad 33
と同値であると考える事が出来ます

同様に「8」位置の延長線上を下の定規でみると「4.4」、×10して答えは「44」になります

これは入力値に対応した出力値を持つ関数の表リストを利用した計算であり、どこかsin,cos関数の加法定理に近い構造を持つ事に気が付きます

memo:
計算尺においては計算は掛算割算が基本であり単純な加算引算にはテクニックが必要となる
参考資料:
計算尺での足し算・引き算
この参考資料内のページの最後の式は接線の方程式でみられる式の形に似ている。接線の方程式は共通因子として微分係数が利用されていると考えられる?(微分係数という単位)